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點P是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1外的任意一點，過點P的直線PA、PB分別與橢圓相切于A、B兩點．
（1）若點P的坐標為（1，2），求直線AB的方程．
（2）設橢圓的左焦點為F，請問：當點P運動時，∠PFA與∠PFB是否總是相等？若是，請給出證明．
分析：（1）設點A、B的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），利用導數可求得過點A的切線方程為
x1x
4
+
y1y
3
=1，由點P在切線上可得
x1
4
+
2y1
3
=1，同理，
x2
4
+
2y2
3
=1，由此可得AB方程；
（2）設點P的坐標為（m，n），由（1）知，
mx1
4
+
ny1
3
=1，問題轉化為向量的夾角相等，利用向量夾角公式可得結論；
解答：解：（1）設點A的坐標為（x1，y1），
當y≥0時，由
x2
4
+
y2
3
=1得，y=
3(1-
x2
4
)
，
則過點A的切線斜率k=y′|x=x1=
-
3
2
x1
2
3(1-
x12
4
)
=-
3x1
4y1
，過點A的切線方程為：y-y1=
-3x1
4y1
(x-x1)，
又
x12
4
+
y12
3
=1，則切線方程可整理為：
x1x
4
+
y1y
3
=1，
當y＜0時，同理可得切線方程為：
x1x
4
+
y1y
3
=1，
綜上，過點A的切線方程為：
x1x
4
+
y1y
3
=1，
∵點P（1，2）在切線上，∴
x1
4
+
2y1
3
=1①，
設點B的坐標為（x2，y2），同理可得，
x2
4
+
2y2
3
=1②，
故由①②可得直線AB的方程為
x
4
+
2y
3
=1；
（2）當點P運動時，∠PFA與∠PFB總是相等的，
F（-1，0），設點P的坐標為（m，n），
則由（1）知，
mx1
4
+
ny1
3
=1，∴ny1=3(1-
mx1
4
)，
∵|AF|=2+
1
2
x1，
FA
•
FP
=（x1+1，y1）•（m+1，n）
=（m+1）（x1+1）+ny1=（m+1）（x1+1）+3（1-
mx1
4
）
=
(m+4)(x1+4)
4
，
∴cos∠PFA=
1
4
(m+4)(x1+4)
(2+
1
2
x1)•|
FP
|
=
m+4
2|
FP
|
，
同理，cos∠PFB=
m+4
2|
FP
|
，
∴cos∠PFA=cos∠PFB，
∴∠PFA=∠PFB．
點評：本題考查橢圓標準方程的求解、直線與橢圓的位置關系，考查學生分析問題解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設圓C1：x2+y2-10x-6y+32=0，動圓C2：x2+y2-2ax-2（8-a）y+4a+12=0，
（Ⅰ）求證：圓C1、圓C2相交于兩個定點；
（Ⅱ）設點P是橢圓
x24
+y2=1上的點，過點P作圓C1的一條切線，切點為T1，過點P作圓C2的一條切線，切點為T2，問：是否存在點P，使無窮多個圓C2，滿足PT1=PT2？如果存在，求出所有這樣的點P；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每題10分，共計20分．
A、如圖，AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上．求證：PE是⊙O的切線．
B、設M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍，縱坐標伸長到3倍的伸壓變換．
（1）求矩陣M的特征值及相應的特征向量；
（2）求逆矩陣M-1以及橢圓
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲線的方程．
C、已知某圓的極坐標方程為：ρ2-4
2
ρcos(θ-
π
4
)+6=0．
（Ⅰ）將極坐標方程化為普通方程；并選擇恰當的參數寫出它的參數方程；
（Ⅱ）若點P（x，y）在該圓上，求x+y的最大值和最小值．
D、若關于x的不等式|x+2|+|x-1|≥a的解集為R，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列說法中
①設定點F1（0，-3），F2（0，3），動點P（x，y）滿足條件|PF1|+|PF2|=a（a＞0），則動點P的軌跡是橢圓或線段；
②命題“每個指數函數都是單調函數”是全稱命題，而且是真命題．
③離心率為
1
2
，長軸長為8的橢圓標準方程為
x2
16
+
y2
12
=1；
④若3＜k＜4，則二次曲線
x2
4-k
+
y2
3-k
=1的焦點坐標是（±1，0）．
其中正確的為
②④
②④
（寫出所有真命題的序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

以下各個關于圓錐曲線的命題中
①設定點F1（0，-3），F2（0，3），動點P（x，y）滿足條件|PF1|+|PF2|=a（a＞0），則動點P的軌跡是橢圓或線段；
②過點（0，1）作直線，使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點，這樣的直線有3條；
③離心率為
1
2
，長軸長為8的橢圓標準方程為
x2
16
+
y2
12
=1；
④若3＜k＜4，則二次曲線
x2
4-k
+
y2
3-k
=1的焦點坐標是（±1，0）．
其中真命題的序號為
②④
②④
（寫出所有真命題的序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•重慶一模）已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為橢圓
x2
4
+
y2
3
=1d的右焦點，點A、B為拋物線上的兩點，O是拋物線的頂點，OA⊥OB．
（I）求拋物線的標準方程；
（Ⅱ）求證：直線AB過定點M（4，0）；
（III）設弦AB的中點為P，求點P到直線x-y=0的最小值．

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同步練習冊答案