Question

已知函數(shù)f（x）=2-

ax+1

（a∈R）的圖象過點(diǎn)（4，-1）．
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把點(diǎn)代入函數(shù)解析式可得：-1=2-

4a+1

，求解即可得出a的值．
（2）可根據(jù)函數(shù)解析式判斷：f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，定義域為[-

1

2

，+∞），判斷出f（x）在其定義域內(nèi)有一個零點(diǎn)．
且在（1，2）內(nèi)，如果x₁＜x₂都是函數(shù)的零點(diǎn)，則f（x₁）=f（x₂）=0，單調(diào)遞減相矛盾可判斷出答案．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2-

ax+1

（a∈R）的圖象過點(diǎn)（4，-1）．
∴-1=2-

4a+1

，3=

4a+1

，
a=2，
（2）函數(shù)f（x）=2-

2x+1

，
可根據(jù)函數(shù)解析式判斷：f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，定義域為[-

1

2

，+∞）
∴任意的x₁＜x₂，則f（x₁）＞f（x₂）
f（0）=1，
f（1）=2-

3

＞0
f（2）=2-

5

＜0，
∴f（x）在其定義域內(nèi)有一個零點(diǎn)．且在（1，2）內(nèi)，
如果x₁＜x₂都是函數(shù)的零點(diǎn)，
則f（x₁）=f（x₂）=0，
與單調(diào)遞減相矛盾，
所以可判斷f（x）在其定義域內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的性質(zhì)，反例判斷的方法，屬于中檔題．