【題目】已知橢圓:(),過原點(diǎn)的兩條直線和分別與交于點(diǎn)、和、,得到平行四邊形.
(1)當(dāng)為正方形時(shí),求該正方形的面積.
(2)若直線和關(guān)于軸對稱,上任意一點(diǎn)到和的距離分別為和,當(dāng)為定值時(shí),求此時(shí)直線和的斜率及該定值.
(3)當(dāng)為菱形,且圓內(nèi)切于菱形時(shí),求,滿足的關(guān)系式.
【答案】(1);(2)和,;(3).
【解析】
(1)直線和的方程為和利用,可得,根據(jù)對稱性,可得正方形的面積;
(2) 利用距離公式,結(jié)合為定值,即可證明結(jié)論;(3)設(shè)出切線的方程與橢圓方程聯(lián)立,分類討論,即可求滿足的關(guān)系式.
(1)因?yàn)?/span>為正方形,所以直線和的方程為和.
點(diǎn)、的坐標(biāo)、為方程組的實(shí)數(shù)解,
將代入橢圓方程,解得.
根據(jù)對稱性,可得正方形的面積.
(2)由題設(shè),不妨設(shè)直線的方程為(),于是直線的方程為.
設(shè),于是有,又,,
,將代入上式,
得,
對于任意,上式為定值,必有,即,
因此,直線和的斜率分別為和,
此時(shí).
(3)設(shè)與圓相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為,于是切線的方程為.
點(diǎn)、的坐標(biāo)、為方程組的實(shí)數(shù)解.
① 當(dāng)或時(shí),均為正方形,橢圓均過點(diǎn),于是有.
② 當(dāng)且時(shí),將代入,
整理得,
于是,
同理可得.
因?yàn)?/span>為菱形,所以,
得,即,
于是,
整理得,由,
得,即.
綜上,,滿足的關(guān)系式為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;
(2)是函數(shù)的極值點(diǎn),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)在(2)的條件下,,若,,使不等式恒成立,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ln (x+1)- -x,a∈R.
(1)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若存在x>0,使f(x)+x+1<- (a∈Z)成立,求a的最小值.
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【題目】已知函數(shù),,記
(1)證明:有且僅有一個(gè)零點(diǎn);
(2)記的零點(diǎn)為,,若在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根,判斷與的大小,并給出對應(yīng)的證明.
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【題目】某工廠生產(chǎn)一批零件,為了解這批零件的質(zhì)量狀況,檢驗(yàn)員從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了100件作為樣本進(jìn)行檢測,將它們的重量(單位:g)作為質(zhì)量指標(biāo)值.由檢測結(jié)果得到如下頻率分布直方圖.
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
8 | ||
16 | 0.16 | |
4 | 0.04 | |
合計(jì) | 100 | 1 |
(1)求圖中的值;
(2)根據(jù)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:零件重量小于47或大于53為不合格品,重量在區(qū)間和內(nèi)為合格品,重量在區(qū)間內(nèi)為優(yōu)質(zhì)品.已知每件產(chǎn)品的檢測費(fèi)用為5元,每件不合格品的回收處理費(fèi)用為20元.以抽檢樣本重量的頻率分布作為該零件重量的概率分布.若這批零件共件,現(xiàn)有兩種銷售方案:方案一:不再檢測其他零件,整批零件除對已檢測到的不合格品進(jìn)行回收處理,其余零件均按150元/件售出;方案二:繼續(xù)對剩余零件的重量進(jìn)行逐一檢測,回收處理所有不合格品,合格品按150元/件售出,優(yōu)質(zhì)品按200元/件售出.僅從獲得利潤大的角度考慮,該生產(chǎn)商應(yīng)選擇哪種方案?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直,求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)用表示,中的較大者,記函數(shù).若函數(shù)在內(nèi)恰有2個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,平面,,,,,分別是,的中點(diǎn).
(1)求三棱錐的體積;
(2)若異面直線與所成的角為,求的值.
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【題目】某土特產(chǎn)超市為預(yù)估2020年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況,對2019年元旦期間的90位游客購買情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如下人數(shù)分布表.
購買金額(元) | ||||||
人數(shù) | 10 | 15 | 20 | 15 | 20 | 10 |
(1)求購買金額不少于45元的頻率;
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為購買金額是否少于60元與性別有關(guān).
不少于60元 | 少于60元 | 合計(jì) | |
男 | 40 | ||
女 | 18 | ||
合計(jì) |
附:參考公式和數(shù)據(jù):,.
附表:
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | |
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
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