Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a≠0）對(duì)于任意x∈R都有f（1+x）=f（1-x），且函數(shù)y=f（x）+2x為偶函數(shù)；函數(shù)g（x）=1-2^x．
（I） 求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（II） 求證：方程f（x）+g（x）=0在區(qū)間[0，1]上有唯一實(shí)數(shù)根；
（III） 若有f（m）=g（n），求實(shí)數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

（I）∵對(duì)于任意x∈R都有f（1+x）=f（1-x），
∴函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=1，得b=-2a．
又函數(shù)y=f（x）+2x=ax²+（b+2）x+1為偶函數(shù)，∴b=-2，從而可得a=1．
∴f（x）=x²-2x+1=（x-1）²．
（II）證明：設(shè)h（x）=f（x）+g（x）=（x-1）²+1-2^x，
∵h(yuǎn)（0）=2-2⁰=1＞0，h（1）=-1＜0，∴h（0）h（1）＜0．
所以函數(shù)h（x）在區(qū)間[0，1]內(nèi)必有零點(diǎn)，
又∵（x-1）²，-2^x在區(qū)間[0，1]上均單調(diào)遞減，
所以h（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，
∴h（x）在區(qū)間[0，1]上存在唯一零點(diǎn)．
故方程f（x）+g（x）=0在區(qū)間[0，1]上有唯一實(shí)數(shù)根．
（III）由題可知∴f（x）=（x-1）²≥0．g（x）=1-2^x＜1，
若有f（m）=g（n），則g（n）∈[0，1），
則1-2ⁿ≥0，解得 n≤0．
故n的取值范圍是n≤0．