Question

【題目】集合由滿(mǎn)足以下性質(zhì)的函數(shù)組成：①在上是增函數(shù)；②對(duì)于任意的， .已知函數(shù)， .

（1）試判斷， 是否屬于集合，并說(shuō)明理由；

（2）將（1）中你認(rèn)為屬于集合的函數(shù)記為.

（ⅰ）試用列舉法表示集合；

（ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）(i) ;(ii) 實(shí)數(shù)的取值范圍是.

【解析】試題分析: （1）通過(guò)特例，判斷不在集合中，判斷的單調(diào)性,求出的值域，即可判斷是否在集合中；

（2）（ⅰ）利用 （1）在集合中，解指數(shù)方程，即可得到集合．

試題解析:（1）因?yàn)?/span>，不滿(mǎn)足②，所以不屬于集合．

(ii)由（1）知， 在上單調(diào)增，所以

所以方程在內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，解之即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.

在內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)， ，設(shè)，

則，

因?yàn)?/span>是單調(diào)增函數(shù)，且，所以， ，

所以，即，

故在上是增函數(shù)，滿(mǎn)足①；

所以在上的值域?yàn)?/span>，滿(mǎn)足②．

故函數(shù)屬于集合．

（2）(i)由（1）知， ，所以，

即，解得或，

所以或，故．

(ii)由（1）知， 在上單調(diào)增，所以

所以方程在內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，

所以解得．

故實(shí)數(shù)的取值范圍是．