【題目】已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是,端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).
(Ⅰ)求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)設(shè)圓與曲線的兩交點(diǎn)為,求線段的長(zhǎng);
(Ⅲ)若點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng),求的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】試題分析:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo),和點(diǎn)是線段的中點(diǎn),得, ,再由點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),求得點(diǎn)的軌跡方程,進(jìn)而可求得點(diǎn)點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)由兩圓的方程,相減得到直線的方程,根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式,即可求解的長(zhǎng);
(Ⅲ)根據(jù)圓的性質(zhì)得 ,由為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),進(jìn)而可求得的最小值,即可得到的最小值。
試題解析:
(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,由于點(diǎn)的坐標(biāo)為,
且點(diǎn)是線段的中點(diǎn),所以,
于是有, ①
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),
所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程
即: ②
把①代入②,得
整理,得
所以點(diǎn)的軌跡的方程為.
(Ⅱ)圓與圓的方程
相減得:
由圓的圓心為,半徑為1,且到直線
的距離
則公共弦長(zhǎng)
(Ⅲ)是以為圓心,半徑的圓
是以為圓心,半徑的圓
所以 ①
當(dāng)且僅當(dāng)在線段且在線段上時(shí),取等號(hào).
設(shè)為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)
則代入①式得:
當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí),取等號(hào).
所以的最小值為.
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