【題目】已知向量 =(cos x,sin x), =(cos x,﹣sin x),且x∈[0, ].求:
(1)
(2)若f(x)= ﹣2λ 的最小值是﹣ ,求λ的值.

【答案】
(1)

解: =cos2x

=

∵x∈[0, ],∴cosx>0,∴ =2cosx.


(2)

解:f(x)=cos2x﹣4λcosx=2cos2x﹣1﹣4λcosx,設(shè)t=cosx,

則∵x∈[0, ],∴t∈[0,1]

即y=f(x)=2t2﹣4λt﹣1=2(t﹣λ)2﹣1﹣2λ2

①λ<0時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí),y取最小值﹣1,這與已知矛盾

②當(dāng)0≤λ≤1時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)t=λ時(shí),y取得最小值﹣1﹣2λ2,

由已知得 ,解得λ=

③當(dāng)λ>1時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí),y取得最小值1﹣4λ.

由已知得 ,解得λ= ,這與λ>1相矛盾.

綜上λ= 為所求.


【解析】(1)利用向量的數(shù)量積公式,結(jié)合差角的三角函數(shù),角的范圍,即可得出結(jié)論;(2)f(x)=cos2x﹣4λcosx=2cos2x﹣1﹣4λcosx,設(shè)t=cosx,可得y=f(x)=2t2﹣4λt﹣1=2(t﹣λ)2﹣1﹣2λ2 , 分類討論,利用最小值是﹣ ,即可求λ的值.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知圓和直線.

(Ⅰ)求的參數(shù)方程以及圓上距離直線最遠(yuǎn)的點(diǎn)坐標(biāo);

(Ⅱ)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,將圓上除點(diǎn)以外所有點(diǎn)繞著逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到曲線,求曲線的極坐標(biāo)方程.

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(1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x,y的值;
(2)估計(jì)本次競賽學(xué)生成績的中位數(shù)和平均分;
(3)在選取的樣本中,從競賽成績在80分以上(含80分)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生,求所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[90,100]內(nèi)的頻率.

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(3)把89化為二進(jìn)制數(shù).

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xi(月)

1

2

3

4

5

yi(千克)

0.5

0.9

1.7

2.1

2.8

(參考公式: = , =

(1)在給出的坐標(biāo)系中,畫出關(guān)于x,y兩個(gè)相關(guān)變量的散點(diǎn)圖.
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出變量y關(guān)于變量x的線性回歸直線方程
(3)預(yù)測飼養(yǎng)滿12個(gè)月時(shí),這種魚的平均體重(單位:千克)

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A. B. C. D.

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