Question

已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，且有

lim

n→∞

(

a1

1+q

-qn)=

1

2

，則首項(xiàng)a₁的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：梅涅勞斯定理,數(shù)列的極限

專題：計(jì)算題

分析：由 

lim

n→∞

(

a1

1+q

-qn)=

1

2

，可得

lim

n→∞

qⁿ一定存在，然后分0＜|q|＜1和q=1進(jìn)行分類討論，即可求出滿足條件的首項(xiàng)a₁的取值范圍．

解答： 解：∵

lim

n→∞

(

a1

1+q

-qn)=

1

2

，
∴

lim

n→∞

qⁿ一定存在，∴0＜|q|＜1或q=1．
當(dāng)q=1時(shí)，

a1

2

-1=

1

2

，∴a₁=3．
當(dāng)0＜|q|＜1時(shí)，由

lim

n→∞

(

a1

1+q

-qn)=

1

2

，得

a1

1+q

=

1

2

，
∴2a₁-1=q．
∴0＜|2a₁-1|＜1．
∴0＜a₁＜1且a₁≠

1

2

．
綜上，得0＜a₁＜1且a₁≠

1

2

或a₁=3．

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)

lim

n→∞

qⁿ一定存在時(shí)，一定要注意分類討論，當(dāng)q=1時(shí)，

lim

n→∞

qⁿ=1，當(dāng)0＜|q|＜1時(shí)，

lim

n→∞

qⁿ=0，是中檔題．