Question

已知：函數(shù)。
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若關(guān)于x的方程kf（x）=1恰有三個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

Answer 1

解：f（x）定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）
（1）當(dāng)x>0時(shí)，-x ＜0，
∵f（x）=xlnx，f（-x）=-xlnx，
∴f（-x）=- f（x），
當(dāng)x＜0時(shí)，-x >0，
∵f（x）= xln（-x），f（-x）=-xln（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)。
（2）當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=xlnx，
令f'（x）＜0，得
∴當(dāng)時(shí)，f（x）為減函數(shù)
令f'（x）>0，得
∴當(dāng)時(shí)，f（x）為增函數(shù)
又f（x）為奇函數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，f（x）為增函數(shù)
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為和
單調(diào)增區(qū)間為和。
（3）原方程等價(jià)于，結(jié)合f（x）的圖象變化，由（2）知，
時(shí)f（x）由0遞減到
時(shí)f（x）由遞增到+∞
x∈時(shí)f（x）由-∞遞增到
時(shí)f（x）由遞減到0
∵方程恰有3個(gè)不同的根，
∴f（x）的圖象與的圖象應(yīng)有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴或
∴k＜-e或k>e。