【題目】如圖,已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,E是棱CC1上的動點,F(xiàn)是AB的中點,AC=BC=2,AA1=4.

(1)當(dāng)E是棱CC1的中點時,求證:CF∥平面AEB1;
(2)在棱CC1上是否存在點E,使得二面角A﹣EB1﹣B的大小是45°?若存在,求出CE的長,若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:取AB1中點M,連接EM、FM

∵△AB1B中,M、F分別是AB、AB1的中點,

∴MF∥B1B且MF= B1B,

又∵矩形BB1C1C中,CE∥B1B且CE= B1B,

∴MF∥CE且MF=CE,可得四邊形MFCE是平行四邊形

∴CF∥EM

∵CF平面EAB1,EM平面EAB1,

∴CF∥平面AEB1


(2)解:以CA、CB、CC1為x、y、z軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

可得A(2,0,0),B1(0,2,4),設(shè)CE=m,得E(0,0,m)

=(﹣2,0,m), =(﹣2,2,4)

設(shè)平面AEB1的法向量為 =(x,y,z)

則有 ,解之并取z=2,得 =(m,m﹣4,2)

∵平面EB1B的法向量為 =(2,0,0),

∴當(dāng)二面角A﹣EB1﹣B的大小是45°時,有

cos< , >= = ,解之得m=

因此,在棱CC1上存在點E,當(dāng)CE= 時,二面角A﹣EB1﹣B的大小是45°.


【解析】(1)根據(jù)題意作出輔助線,由已知條件可得線線平行進而得出直線與平面平行。(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出各個點以及向量的坐標(biāo),設(shè)出平面AEB1的法向量再根據(jù)法向量和向量AE的數(shù)量積等于零求出法向量的坐標(biāo),再根據(jù)數(shù)量積的運算公式結(jié)合二面角A﹣EB1﹣B的大小求出余弦值進而得到m的值,即可得證點E的存在。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識,掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

練習(xí)冊系列答案
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;②是偶函數(shù);③在定義域上是增函數(shù);

圖象的兩個端點關(guān)于圓心對稱;

⑤動點到兩定點的距離和是定值.

其中正確的是__________

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