Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²-2a²lnx（a＞0）．
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求實數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（3）求f（x）在（1，f（1））處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）利用極值點的導函數(shù)為零，求出參數(shù)的值，再通過單調性驗證參數(shù)適合題意；
（2）利用導函數(shù)值的正負求出函數(shù)的單調區(qū)間；
（3）求出f（1），f′（1）的值，帶入切線方程即可．

解答 解：（1）f（x）=x²-2a²lnx（a＞0）的定義域為（0，+∞）．
f′（x）=2x-$\frac{{2a}^{2}}{x}$=$\frac{2（x+a）（x-a）}{x}$，
∵f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=0，解得a=1或a=-1（舍）．
∴a=1．
當a=1時，x∈（0，1），f′（x）＜0；
x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
所以a的值為1．
（2）令f′（x）=0，解得x=a或x=-a（舍）．
當x在（0，+∞）內變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

由上表知f（x）的單調遞增區(qū)間為（a，+∞），單調遞減區(qū)間為（0，a）．
（3）由（1）得：f′（x）=2x-$\frac{{2a}^{2}}{x}$=$\frac{2（x+a）（x-a）}{x}$，
故f（1）=1，f′（1）=2-2a²，
故切線方程是：y-1=（2-2a²）（x-1），
整理得：y=（2-2a²）x-1+2a²．

點評 本題考查的是導函數(shù)知識，包括導函數(shù)與單調性、導函數(shù)與極值，考查切線方程問題，考查了學生分析問題、解決問題的能力．