Question

若（cosφ+x）⁵的展開(kāi)式中x³的系數(shù)為2，則sin（

3π

2

-2φ）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值

專題：二項(xiàng)式定理

分析：先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于3，求得r的值，即可求得展開(kāi)式中x³的系數(shù)，再根據(jù)展開(kāi)式中x³的系數(shù)為2，求得cosφ的值，再利用誘導(dǎo)公式以及二倍角的余弦公式求得sin（

3π

2

-2φ）的值．

解答： 解：（cosφ+x）⁵的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r 5

•cos^5-rφ•x^r，令r=3，
可得展開(kāi)式中x³的系數(shù)為10cos²φ=2，∴cos²φ=

1

5

．
再根據(jù)sin（

3π

2

-2φ）=-cos2φ=-（2cos²φ-1）=-（-

3

5

）=

3

5

，
故答案為：

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，誘導(dǎo)公式以及二倍角的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．