Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，，若橢圓的離心率等于．
（1）求直線AO的方程（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（2）直線AO交橢圓于點(diǎn)B，若三角形ABF₂的面積等于4，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率e=，即，可得，因此設(shè)橢圓方程為x²+2y²=a²．再設(shè)點(diǎn)A（x，y），因?yàn)橄蛄?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185850280558864/SYS201310241858502805588019_DA/3.png">、的數(shù)量積為0，得到AF₂、F₁F₂互相垂直，所以x=c，將A（c，y），代入橢圓方程，化簡(jiǎn)可得，得到A的坐標(biāo)，從而得到直線AO的斜率為，最后根據(jù)直線AO過(guò)原點(diǎn)，得直線AO的方程為y=x；
（2）連接AF₁，BF₁，AF₂，BF₂，由橢圓的對(duì)稱性可知：S_△ABF1=S_△ABF2=S_△AF1F2，可用△AF₁F₂的面積列式，解之得a²=16，c²=a²=8，所以b²=a²-c²=8，最終得到橢圓方程為．
解答：解：（1）∵，∴AF₂⊥F₁F₂，
又∵橢圓的離心率e==，
∴，可得，--------（3分）
設(shè)橢圓方程為x²+2y²=a²，設(shè)A（x，y），由AF₂⊥F₁F₂，得x=c
∴A（c，y），代入橢圓方程，化簡(jiǎn)可得（舍負(fù)）--------（5分）
∴A（，），可得直線AO的斜率--------（6分）
因?yàn)橹本�AO過(guò)原點(diǎn)，故直線AO的方程為y=x--------（7分）
（2）連接AF₁，BF₁，AF₂，BF₂，
由橢圓的對(duì)稱性可知：S_△ABF1=S_△ABF2=S_△AF1F2，--------（9分）
∴S_△AF1F2=×2c×y_A=4，即ac=4--------（10分）
又∵
∴a²=4，解之得a²=16，c²=a²=8，
∴b²=a²-c²=8，故橢圓方程為--------（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)特殊的橢圓，在已知其離心率的情況下求直線的方程和三角形的面積，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．