【題目】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足:a1=1,an+1﹣ansin2θ=sin2θcos2nθ.
(Ⅰ)當(dāng)θ= 時(shí),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=sin ,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求證:對(duì)任意n∈N* , Sn<3+ .
【答案】(Ⅰ)解:當(dāng) 時(shí), , ,
∴{2n﹣1an}是以1為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列,2n﹣1an=n,
從而 .
(Ⅱ)證明: ,
∴當(dāng)n=1,2,3時(shí), ;
當(dāng)n≥4時(shí),∵ , ,
令 ,
兩式相減得 ,
.
綜上所述,對(duì)任意
【解析】(1)當(dāng) 時(shí), , ,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;(2)由(1)可得:an= ,可得 ,可得當(dāng)n=1,2,3時(shí),不等式成立;當(dāng)n≥4時(shí),由于 ,利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)函數(shù)公式即可得出.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí),掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系,以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解,了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+ax2﹣ex,a∈R.
(Ⅰ)若曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)平行于x軸,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)試確定a的取值范圍,使得曲線(xiàn)y=f(x)上存在唯一的點(diǎn)P,曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)P.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,∠BCC1= ,AB=BB1=2,BC=1,D為CC1中點(diǎn).
(1)求證:DB1⊥平面ABD;
(2)求二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的一個(gè)側(cè)面PAD為等邊三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD是平行四邊形,AD=2,AB=4,BD=2
(1)求證;PA⊥BD
(2)求二面角D﹣BC﹣P的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知不等式ln(x+1)﹣1≤ax+b對(duì)一切x>﹣1都成立,則 的最小值是( )
A.e﹣1
B.e
C.1﹣e﹣3
D.1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且 asinA=( b﹣c)sinB+( c﹣b)sinC.
(1)求角A的大;
(2)若a= ,cosB= ,D為AC的中點(diǎn),求BD的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以下四個(gè)命題中其中真命題個(gè)數(shù)是( ) ①為了了解800名學(xué)生的成績(jī),打算從中抽取一個(gè)容量為40的樣本,考慮用系統(tǒng)抽樣,則分段的間隔k為40;
②線(xiàn)性回歸直線(xiàn) = x+ 恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心( , );
③隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2)(σ>0),若在(﹣∞,1)內(nèi)取值的概率為0.1,則在(2,3)內(nèi)的概率為0.4;
④若事件M和N滿(mǎn)足關(guān)系P(M∪N)=P(M)+P(N),則事件M和N互斥.
A.0
B.1
C.2
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣k)ex+k,k∈Z,e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)k=0時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),不等式f(x)+5>0恒成立,求k的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】變量x,y滿(mǎn)足約束條件 ,若使z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè),則實(shí)數(shù)a的取值集合是( )
A.{﹣3,0}
B.{3,﹣1}
C.{0,1}
D.{﹣3,0,1}
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