【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,∠BCC1= ,AB=BB1=2,BC=1,D為CC1中點.
(1)求證:DB1⊥平面ABD;
(2)求二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值.

【答案】
(1)證明:∵BC=B1C1=1,CD=C1D= BB1=1,∠BCC1= ,∠B1C1D=π﹣∠BCC1= ,

∴BD=1,B1D= ,

∴BB12=BD2+B1D2,∴BD⊥B1D.

∵AB⊥平面BB1C1C,BD平面BB1C1C,

∴AB⊥B1D,又AB平面ABD,BD平面ABD,AB∩BD=B,

∴DB1⊥平面ABD


(2)解:以B為原點,以BB1,BA所在直線為x軸,z軸建立空間直角坐標系B﹣xyz,如圖所示:

則A(0,0,2),D( , ,0),B1(2,0,0),A1(2,0,2),

=( ,﹣ ,0), =(﹣2,0,2), =(0,0,2).

設(shè)平面AB1D的法向量為 =(x1,y1,z1),平面A1B1D的法向量為 =(x2,y2,z2),

, ,即 ,

令x1=1得 =(1, ,1),令x2=1得 =(1, ,0).

∴cos< , >= = =

∵二面角A﹣B1D﹣A1是銳角,

∴二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值為


【解析】(1)利用余弦定理計算BD,B1D,再由勾股定理的逆定理得出BD⊥B1D,由AB⊥平面BB1C1C得出AB⊥B1D,于是得出B1D⊥平面ABD;(2)以B為原點建立坐標系,求出平面AB1D的法向量 ,平面A1B1D的法向量 ,計算cos< >即可得出二面角的余弦值.
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本,需要知道一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

練習(xí)冊系列答案
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組別

PM2.5濃度(微克/立方米)

頻數(shù)(天)

頻率

第一組

(0,25]

3

0.15

第二組

(25,50]

12

0.6

第三組

(50,75]

3

0.15

第四組

(75,100]

2

0.1


(1)將這20天的測量結(jié)果按上表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖. ①求頻率分布直方圖中a的值;
②求樣本平均數(shù),并根據(jù)樣本估計總體的思想,從PM2.5的年平均濃度考慮,判斷該居民區(qū)的環(huán)境質(zhì)量是否需要改善?并說明理由.
(2)將頻率視為概率,對于2016年的某3天,記這3天中該居民區(qū)PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標準的天數(shù)為X,求X的分布列.

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