Question

（13分）已知拋物線D的頂點(diǎn)是橢圓的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合。
（1）求拋物線D的方程；
（2）已知?jiǎng)又本�l過(guò)點(diǎn)P（4，0），交拋物線D于A，B兩點(diǎn)
（i）若直線l的斜率為1，求AB的長(zhǎng)；
（ii）是否存在垂直于x軸的直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長(zhǎng)恒為定值？如果存在，求出m的方程，如果不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）y²=4x；（2）（i）|AB|=；
（ii）存在直線m:x=3滿足題意。

本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求解，屬于中檔題
（1）根據(jù)拋物線D的頂點(diǎn)是橢圓的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合，設(shè)出拋物線方程，即可求得拋物線D的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（i）直線l的方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理可求|AB|；
（3） 設(shè)存在直線m：x=a滿足題意，則圓心M()，過(guò)M作直線x=a的垂線，垂足為E，設(shè)直線m與圓M的一個(gè)交點(diǎn)為G，可得：|EG|²=|MG|²-|ME|²=(a-3)x₁+4a-a²，由此可得結(jié)論．
解：（1）y²=4x（3分）
（i）A（x₁,y₁） B（x₂,y₂）  |AB|=（4分）
（ii）設(shè)存在直線m:x=a，滿足題意，則圓心M，過(guò)M作直線x=a的垂線，垂足為E，設(shè)直線m與圓M的一個(gè)交點(diǎn)為G，可得｜EG｜²=｜MG｜²-|ME|²=（a-3）x₁+4a-a²
當(dāng)a=3時(shí)，弦長(zhǎng)恒為定值2 因此存在直線m:x=3滿足題意（6分）