Question

（本小題滿分16分）如圖，有一個長方形地塊ABCD，邊AB為2km， AD為4 km.，地塊的一角是濕地（圖中陰影部分），其邊緣線AC是以直線AD為對稱軸，以A為頂點的拋物線的一部分.現(xiàn)要鋪設(shè)一條過邊緣線AC上一點P的直線型隔離帶EF，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上（隔離帶不能穿越濕地，且占地面積忽略不計）.設(shè)點P到邊AD的距離為t（單位:km），△BEF的面積為S（單位: ）.

（1）求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域;

（2）是否存在點P，使隔離出的△BEF面積S超過3 ?并說明理由.

Answer 1

（1），定義域為，（2）不存在點

【解析】

試題分析：（1）求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，關(guān)鍵在求出拋物線在點P的切線方程：先根據(jù)拋物線過點C，求出拋物線的方程為．再由得過的切線方程為，從而，，，函數(shù)的定義域（2）本題實質(zhì)求△BEF面積S的值域，判斷3是否為在其值域內(nèi)：由得在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上有最大值，所以不存在點，使隔離出的△面積超過3．

試題解析：

（1）如圖，以為坐標(biāo)原點，所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則點坐標(biāo)為． 1分

設(shè)邊緣線所在拋物線的方程為，

把代入，得，解得，

所以拋物線的方程為． 3分

因為， 4分

所以過的切線方程為． 5分

令，得；令，得， 7分

所以， 8分

所以，定義域為． 9分

（2）， 12分

由，得，

所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)， 14分

所以在上有最大值．

又因為，

所以不存在點，使隔離出的△面積超過3． 16分

考點：函數(shù)解析式