Question

9．圓O的半徑為2，△ABC是其內(nèi)接三角形，BC=3，則${\overrightarrow{AC}}^{2}$-${\overrightarrow{AB}}^{2}$的最大值為12．

Answer 1

分析 如圖所示，過點O作OD⊥BC，垂足為D點，可得$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{BC}$=0．利用向量的三角形法則和平行四邊形法則可得則${\overrightarrow{AC}}^{2}$-${\overrightarrow{AB}}^{2}$=（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=2$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$+2$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=2|$\overrightarrow{AO}$||$\overrightarrow{BC}$|cos＜$\overrightarrow{AO}$，$\overrightarrow{BC}$＞，再利用數(shù)量積運算即可得出．

解答 解：如圖所示，過點O作OD⊥BC，垂足為D點，則$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{BC}$=0．
則${\overrightarrow{AC}}^{2}$-${\overrightarrow{AB}}^{2}$=（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=2$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$+2$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$
=2|$\overrightarrow{AO}$||$\overrightarrow{BC}$|cos＜$\overrightarrow{AO}$，$\overrightarrow{BC}$＞
=2×2×3cos＜$\overrightarrow{AO}$，$\overrightarrow{BC}$＞≤12，當(dāng)$\overrightarrow{AO}$∥$\overrightarrow{BC}$且同向時取等號．
因此${\overrightarrow{AC}}^{2}$-${\overrightarrow{AB}}^{2}$的最大值為12．
故答案為：12．

點評 本題考查了向量的三角形法則和平行四邊形法則、數(shù)量積運算等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和輔助線的作法，屬于難題．