Question

12．已知：正四面體ABCD（所有棱長均相等）的棱長為1，E、F、G、H分別是四面體ABCD中各棱的中點(diǎn)，設(shè)：$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow b，\overrightarrow{AD}=\overrightarrow c$，試采用向量法解決下列問題
（1）求$\overrightarrow{EF}$的模長；       
（2）求$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{GH}$的夾角．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$表示出向量$\overrightarrow{EF}$，求出它的模長|$\overrightarrow{EF}$|；
（2）用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$表示出向量$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{GH}$，求出$\overrightarrow{EF}$與$\overrightarrow{GH}$的夾角即可．

解答 解：（1）如圖所示，
正四面體ABCD的棱長為1，E、F、G、H分別是四面體ABCD中各棱的中點(diǎn)，
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow b，\overrightarrow{AD}=\overrightarrow c$，
∴$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$），
$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{c}$；
∴$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AF}$=-$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）-$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{c}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），
∴|$\overrightarrow{EF}$|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{\overrightarrow{c}}^{2}{+\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+2\overrightarrow•\overrightarrow{c}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+1+1-2×1×1•cos60°-2×1×1•cos60°+2×1×1•cos60°}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；       
（2）正四面體ABCD中，$\overrightarrow{EF}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），|$\overrightarrow{EF}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；       
同理，$\overrightarrow{GH}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$），|$\overrightarrow{GH}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{GH}$＞=$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{GH}}{|\overrightarrow{EF}|×|\overrightarrow{GH}|}$
=$\frac{\frac{1}{2}（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\frac{1}{2}（\overrightarrow+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$
=$\frac{1}{2}$[${（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）}^{2}$-${\overrightarrow}^{2}$]
=$\frac{1}{2}$[${\overrightarrow{c}}^{2}$+${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$-${\overrightarrow}^{2}$]
=$\frac{1}{2}$[1+1-2×1×1cos60°-1]
=0，
∴$\overrightarrow{EF}$與$\overrightarrow{GH}$的夾角為90°．

點(diǎn)評 本題考查了空間向量的應(yīng)用問題，也考查了向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題目．