【題目】已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，an＞0，an2+2an=4Sn﹣1．
（1）求{an}的通項公式；
（2）設bn= ，求{bn}的前n項和Tn ．
（3）cn= ，{cn}的前n項和為Dn ， 求證：Dn＜ ．

【答案】
（1）解：當n=1時， ，解之得a1=1；

當n≥2時 ， ，

， ，因為an＞0，

所以 ，

所以數(shù)列{an}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以an=2n﹣1


（2）解：∵

∴


（3）證明： =

Dn=c1+c2+c3+…+cn= = ，即


【解析】（1）由an2+2an=4Sn﹣1，可求得a1 ， 當n≥2時，下推一項后兩式作差，整理可得以 ，利用等差數(shù)列的定義可判斷數(shù)列{an}為等差數(shù)列，繼而可得其通項公式；（2）利用裂項法可得 ，累加可求{bn}的前n項和Tn ． （3）利用放縮法得 = ，從而可求{cn}的前n項和為Dn ， 即證：Dn＜ ．
【考點精析】通過靈活運用數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式，掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式即可以解答此題．

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（2）設bn=3 +an ， 求數(shù)列{bn}的前n項和Tn ．

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