Question

【題目】如圖所示， 為圓的直徑，點， 在圓上， ，矩形所在的平面和圓所在的平面互相垂直，且， ， .

（1）求證： 平面；

（2）設(shè)的中點為，求三棱錐的體積與多面體的體積之比的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）.

【解析】試題分析：（1）證明 ，由圓的直徑性質(zhì)推出 ，然后證明平面；（2）根據(jù)等級變換求三棱錐的體積，多面體的體積可分成三棱錐與四棱錐的體積之和，可求出，進而可得比值.

試題解析：（1）證明： 矩形所在的平面和平面互相垂直，且，

平面，

又平面， .

又為圓的直徑，

，

又，

平面.

（2）設(shè)的中點為，連接，

則，

又， ，

四邊形為平行四邊形，

，

又平面，

平面.

顯然，四邊形為等腰梯形， ，因此為邊長是1的正三角形.

三棱錐的體積

多面體的體積可分成三棱錐與四棱錐的體積之和，計算得兩底間的距離，

.

.

.

.

【方法點晴】本題主要考查線面垂直、線線垂直及棱錐的體積公式，屬于難題.證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質(zhì)；（4）利用面面垂直的性質(zhì)，當兩個平面垂直時，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面.