Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)均為a，側(cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，A₁B=a．

　　(1)求異面直線(xiàn)AC與BC₁所成角的余弦值；

　　(2)求證A₁B⊥面AB₁C．

Answer 1

答案：
解析：

如圖甲所示，過(guò)點(diǎn)B作BO⊥AC，垂足為點(diǎn)O，則BO⊥側(cè)面ACC1A1，連結(jié)A1O，在Rt△A1BO中，A1B=a，BO=a 　　∴　A1O=a，又AA1=a，AO= 　　∴　△A1AO為直角三角形，A1O⊥AC，A1O⊥底面ABC 　　解法一：(1)∵　A1C1∥AC 　　∴　∠BC1A1為異面直線(xiàn)AC與BC1所成的角 　　∵　A1O⊥面ABC，AC⊥BO 　　∴　AC⊥A1B 　　∴　A1C1⊥A1B 　　在Rt△A1BC1中，A1B=a，A1C1=a 　　∴　BC1=a 　　∴　cos∠BC1A1= 　　所以，異面直線(xiàn)AC與BC1所成角的余弦值為 　　(2)設(shè)A1B與AB1相交于點(diǎn)D 　　∵　ABB1A1為菱形 　　∴　AB1⊥A1B 　　又A1B⊥AC 　　AB1與AC是平面AB1C內(nèi)兩條相交直線(xiàn) 　　所以A1B⊥面AB1C 　　解法二：(1)如圖乙所示，建立坐標(biāo)系，原點(diǎn)為BO⊥AC的垂足O．由題設(shè)條件可得 　　B(a，0，0)，C1(0，a，a) 　　A(0，-a，0)，C(0，a，0) 　　∴　=(-a，a，a)， =(0，a，0) 　　如圖 　　設(shè)與的夾角為q ，則 　　cosq = 　　所以，異面直線(xiàn)AC與BC1所成角的余弦值為 　　(2)A1(0，0，a)，B(a，0，0) 　　∴　 =(a，0，-a)， =(0，a，0)，· =0 　　∴　A1B⊥AC 　　又ABB1A1為菱形，∴　A1B⊥AB1 　　又因?yàn)?i>AB1與AC為平面AB1C內(nèi)兩條相交直線(xiàn) 　　所以A1B⊥平面AB1C．