Question

【題目】如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F(xiàn)為線(xiàn)段DF的中點(diǎn)． （I）求證：BE∥平面ACF；
（II）求平面BCF與平面BEF所成銳二面角的余弦角．

Answer 1

【答案】解：（1）連接BD和AC交于點(diǎn)O，連接OF，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)．

因?yàn)镕為DE的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥BE．

因?yàn)锽E平面ACF，OF平面AFC，

所以BE∥平面ACF．

（II）因?yàn)锳E⊥平面CDE，CD平面CDE，

所以AE⊥CD．

因?yàn)锳BCD為正方形，所以CD⊥AD．

因?yàn)锳E∩AD=A，AD，AE平面DAE，

所以CD⊥平面DAE．

因?yàn)镈E平面DAE，所以DE⊥CD．

所以以D為原點(diǎn)，以DE所在直線(xiàn)為x軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則E（2，0，0），F(xiàn)（1，0，0），A（2，0，2），D（0，0，0）．

因?yàn)锳E⊥平面CDE，DE平面CDE，

所以AE⊥CD．

因?yàn)锳E=DE=2，所以 ．

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，

所以 ，

所以 ．

由四邊形ABCD為正方形，

得 = =（2，2 ，2），

所以 ．

設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為 =（x1，y1，z1），又知 =（0，﹣2 ，﹣2）， =（1，0，0），

由 ，可得 ，

令y1=1，得 ，

所以 ．

設(shè)平面BCF的一個(gè)法向量為 =（x2，y2，z2），又知 =（﹣2，0，﹣2）， =（1，﹣2 ，0），

由 ，即： ．

令y2=1，得 ，

所以 ．

設(shè)平面BCF與平面BEF所成的銳二面角為θ，

又cos = = = ．

則 ．

所以平面BCF與平面BEF所成的銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）連接BD和AC交于點(diǎn)O，連接OF，證明OF∥BE．然后證明BE∥平面ACF．（II）以D為原點(diǎn)，以DE所在直線(xiàn)為x軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面BEF的一個(gè)法向量，平面BCF的一個(gè)法向量，設(shè)平面BCF與平面BEF所成的銳二面角為θ，利用數(shù)量積求解即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線(xiàn)與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行才能正確解答此題．