Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x+1|﹣|x|+a．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若方程f（x）=x有三個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=0時(shí)， ，

所以當(dāng)x＜﹣1時(shí)，f（x）=﹣1＜0，不合題意；

當(dāng)﹣1≤x＜0時(shí)，f（x）=2x+1≥0，解得 ；

當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=1＞0，符合題意．

綜上可得，f（x）≥0的解集為

（2）解：設(shè)u（x）=|x+1|﹣|x|，y=u（x）的圖象和y=x的圖象如圖所示．

易知y=u（x）的圖象向下平移1個(gè)單位以內(nèi)（不包括1個(gè)單位），與y=x的圖象始終有3個(gè)交點(diǎn)，

從而﹣1＜a＜0．

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣1，0）

【解析】（1）若a=0，求得函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)解析式分別求得f（x）≥0的解集；（2）u（x）=|x+1|﹣|x|，做出y=u（x）和y=x的圖象，方程f（x）=x恰有三個(gè)不同的實(shí)根，轉(zhuǎn)化成y=u（x）與y=x的圖象始終有3個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)圖象即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關(guān)知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號．