Question

對于各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列{a_n}，記b_n=

an+1

an

（n∈N^*），給出下列定義：
①若存在實數(shù)M，使a_n≤M成立，則稱數(shù)列{a_n}為“有上界數(shù)列”；
②若數(shù)列{a_n}為有上界數(shù)列，且存在n₀（n₀∈N^*），使a n0=M成立，則稱數(shù)列{a_n}為“有最大值數(shù)列”；
③若b_n+1-b_n＜0，則稱數(shù)列{a_n}為“比減小數(shù)列”．
（Ⅰ）根據(jù)上述定義，判斷數(shù)列{

1

n

}是何種數(shù)列？
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}中，a₁=

2

，a_n+1=

2+an

，求證：數(shù)列{a_n}既是有上界數(shù)列又是比減小數(shù)列；
（Ⅲ）若數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，且是有上界數(shù)列，但不是有最大值數(shù)列，求證：?n∈N^*，b_n+1-b_n≤0．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由an=

1

n

，bn=

1 n+1

1 n

=

n

n+1

，得b_n+1-b_n＞0，a_n=

1

n

≤1，由此得到數(shù)列{

1

n

}既是有上界數(shù)列，又是有最大值數(shù)列．
（Ⅱ）先用數(shù)學歸納法證明

2

≤an＜an+1＜2，再證明a_n+1＞a_n．an+12-an2=-（a_n-2）（a_n+1）．然后證明

2+an+1

2+an

＜

an+1

an

，由此得到數(shù)列{a_n}既是比減少數(shù)列又是有上界數(shù)列．
（Ⅲ）假設(shè)對于?n∈N^*，b_n+1＞b_n，由此推導出無窮數(shù)列{a_n}不是有上界數(shù)列，與已知矛盾，假設(shè)不成立，從而得到對于數(shù)列{a_n}，?n∈N^*，b_n+1-b_n≤0．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知an=

1

n

，bn=

1 n+1

1 n

=

n

n+1

，
b_n+1-b_n=

n+1

n+2

-

n

n+1

=

1

(n+1)(n+2)

＞0，
a_n=

1

n

≤1，且存在n=1，a₁=1，
所以數(shù)列{

1

n

}既是有上界數(shù)列，又是有最大值數(shù)列．…（3分）
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}中，a₁=

2

，a_n+1=

2+an

，
下面用數(shù)學歸納法證明

2

≤an＜an+1＜2，
①

2

≤a1＜2，命題；
②假設(shè)n=k時命題成立，即

2

≤ak＜2，
當n=k+1時，ak+1=

2+ak

＜

2+2

=2，
ak+1=

2+ak

≥

2+ 2

＞

2

，
所以，當n=k+1時，命題成立，即

2

≤an＜2．
下面證明a_n+1＞a_n．an+12-an2=an+2-an2
=-（a_n-2）（a_n+1）．
因為

2

≤an＜2，所以an+12-an2＞0，即a_n+1＞a_n．
由an+12=2+an+1，an+12=2+an，
兩式相除得：(

an+2

an+1

)2=

2+an+1

2+an

，a_n+1＞a_n，
所以

an+2

an+1

＞1，

an+1

an

＞1，（

an+2

an+1

）²-

an+2

an+1

=（

an+2

an+1

-1）

an+2

an+1

＞0，
即（

an+2

an+1

）²＞

an+2

an+1

．
下面證明

2+an+1

2+an

＜

an+1

an

，
即需證明（2+a_n+1）a_n＜（2+a_n）a_n+1，即需證明2a_n＜2a_n+1，
而2a_n＜2a_n+1已證明成立，
所以

an+2

an+1

＜(

an+2

an+1

)2=

2+an+1

2+an

＜

an+1

an

，
即b_n+1＜b_n，b_n+1-b_n＜0，
所以，數(shù)列{a_n}既是比減少數(shù)列又是有上界數(shù)列．…（6分）
（Ⅲ）用反證法，假設(shè)對于?n∈N^*，b_n+1＞b_n，
即

an+2

an+1

＞

an+1

an

＞…＞

a2

a1

=t，
因為無窮數(shù)列{a_n}各項為正且單調(diào)遞增，所以t＞1．

an

a1

=

an

an-1

×

an-1

an-2

×…×

a2

a1

＞t^n-1，
所以an＞a1tn-1．當n＞

lnM-lna1

lnt

+1時，
a_n＞M，所以無窮數(shù)列{a_n}不是有上界數(shù)列，與已知矛盾，假設(shè)不成立，
因此，對于數(shù)列{a_n}，?n∈N^*，b_n+1-b_n≤0．…（4分）

點評：本題考查數(shù)列{

1

n

}是何種數(shù)列的判斷，考查數(shù)列{a_n}既是有上界數(shù)列又是比減小數(shù)列的證明，考查?n∈N^*，b_n+1-b_n≤0的證明，解題時要注意數(shù)學歸納法和反證法的合理運用．