Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，AB=a，AD=2，SA=1，且SA⊥底面ABCD，若邊BC上存在異于B，C的一點(diǎn)P，使得

PS

⊥

PD

．
（1）求a的最大值；
（2）當(dāng)a取最大值時(shí)，求異面直線AP與SD所成角的大�。�
（3）當(dāng)a取最大值時(shí)，求平面SCD的一個(gè)單位法向量

n

及點(diǎn)P到平面SCD的距離．

Answer 1

分析：首先根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，再寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)．
（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出

PS

=(-a，-x，1)，

PD

=(-a，2-x，0)，再由

PS

⊥

PD

與二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)求出a的數(shù)值．
（2）分別求出兩條直線所在的向量，再利用向量的有關(guān)運(yùn)算求出兩個(gè)向量的夾角，然后根據(jù)線線角與向量夾角的關(guān)系得到線線角．
（3）先求出平面的法向量，再求出其單位向量，然后求出平面的任意一個(gè)斜線所在的向量在法向量上的射影即可得到答案．

解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為：
A（0，，0，0），B（a，0，0），C（a，2，0），D（0，2，0），S（0，0，1），設(shè)P（a，x，0）．（0＜x＜2）
（1）∵

PS

=(-a，-x，1)，

PD

=(-a，2-x，0)
∴由

PS

⊥

PD

得：a²-x（2-x）=0
即：a²=x（2-x）（0＜x＜2）
∴當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，a有最大值為1．此時(shí)P為BC中點(diǎn)；
（2）由（1）知：

AP

=(1，1，0)，

SD

=(0，2，-1)，
∴cos?

AP

，

SD

＞=

AP • SD

| AP |×| SD |

=

2

2 × 5

=

10

5

，
∴異面直線AP與SD所成角的大小為arccos

10

5

．
（3）設(shè)

n1

=(x，y，z)是平面SCD的一個(gè)法向量，∵

DC

=(1，0，0)，

SD

=(0，2，-1)，
∴由

n1 ⊥ DC n1 ⊥ SD

⇒

n1 • DC =0 n1 • SD =0

⇒

x=0 2y-z=0 取y=1

⇒

x=0 y=1 z=2

得

n1

=(0，1，2)，
∴平面SCD的一個(gè)單位法向量

n

=

n1

| n1 |

=

1

5

•(0，1，2)=(0，

5

5

，

2 5

5

)，
又

CP

=(0，-1，0)，在

n

方向上的投影為

CP • n

| n |

=

- 5 5

1

=-

5

5

，
∴點(diǎn)P到平面SCD的距離為

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線線垂直與線線角，以及點(diǎn)到平面的距離，而空間角解決的關(guān)鍵是做角，由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出平面角來(lái)，是求角的關(guān)鍵，也可以根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征立空間直角坐標(biāo)系利用向量的有關(guān)知識(shí)解決空間角與空間距離等問(wèn)題等問(wèn)題．