已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1，側(cè)棱與底面垂直，底面ABCD是菱形且∠BAD=60°，側(cè)棱與底面邊長均為2，則面AB1C與底面A1B1C1D1，ABCD所成角的正弦值為（　　）
A．
1
2
B．2C．
5
5
D．
2
5
5
如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
∵側(cè)棱與底面垂直，∴B1B⊥面ABCD，
∵AC?面ABCD，∴B1B⊥AC．
連接AC、BD，設(shè)AC∩BD=O，連接B1O，
∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵B1B⊥AC，又BB1∩BD=B，
∴AC⊥面B1BD，
∵OB1?面B1BD，∴AC⊥OB1．
∴∠B1OB為二面角B1-AC-B的平面角，
即面AB1C與底面ABCD所成的角，
∵面A1B1C1D1∥面ABCD，
亦即為面AB1C與底面A1B1C1D1所成的角．
∵底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°，∴∠BAO=30°，
在直角三角形AOB中，∵∠BAO=30°，AB=2，∴OB=1．
再在直角三角形OBB1中，∵OB=1，BB1=2，∴OB1=
5
．
∴sin∠B1OB=
BB1
OB1
=
2
5
=
2
5
5
．
∴則面AB1C與底面A1B1C1D1，ABCD所成角的正弦值為
2
5
5
．
故選D．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AC和EF所成的角為（　�。�
A．30°B．45°C．60°D．90°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知AB=2，BC=1的矩形ABCD，沿對角形BD將△BDC折起得到三棱錐C-ABD，且三棱錐的體積為
2
5
15
，則異面直線BC與AD所成角的余弦值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長AB=2，側(cè)棱BB1的長為4，E為C1C上的點(diǎn)，且CE=1，
（1）求證：A1C⊥平面BDE；
（2）求A1B與平面BDE所成的角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=
2
AB，點(diǎn)E為PB的中點(diǎn)，則AE與平面PDB所成的角的大小為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知斜三棱柱（側(cè)棱不垂直于底面）ABC-A1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直，BC=2，AC=2
3
，AB=2
2
，AA1=A1C=
6
．
（Ⅰ）設(shè)AC的中點(diǎn)為D，證明A1D⊥底面ABC；
（Ⅱ）求異面直線A1C與AB成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知球O的表面積為4π，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，且任意兩點(diǎn)間的球面距離為
π
2
，則OA與平面ABC所成角的正切值是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1∠ACB=90°，CC1⊥平面ABC，則AC1與平面ABB1A1所成角的大小為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，平面α上定點(diǎn)F到定直線l的距離FA=2，曲線C是平面α上到定點(diǎn)F和到定直線l的距離相等的動點(diǎn)P的軌跡．設(shè)FB⊥α，且FB=2．
（1）若曲線C上存在點(diǎn)P0，使得P0B⊥AB，試求直線P0B與平面α所成角θ的大�。�
（2）對（1）中P0，求點(diǎn)F到平面ABP0的距離h．

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