Question

已知向量

a

=(-3，0)，

b

=(2，0)
（1）若向量

c

=(0，1)，求向量

a

-

c

與

b

-

c

的夾角；
（2）若向量

c

滿足|

c

|=1，求向量

a

-

c

與

b

-

c

的夾角最小值的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積與向量夾角的關(guān)系，即可得到結(jié)論．
（2）利用數(shù)形結(jié)合，利用向量的基本運(yùn)算，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意可得向量

a

-

c

=（-3，-1），

b

-

c

=（2，-1），
設(shè)向量

a

-

c

與

b

-

c

的夾角為θ，則由cosθ=

( a - c )•( b - c )

| a - c |•| b - c |

=

-6+1

10 • 5

=-

2

2

，
∴向量

a

-

c

與

b

-

c

的夾角為

3π

4

．
（2）∵向量

c

滿足|

c

|=1，
∴向量

c

的軌跡是半徑為1的圓，
則向量

a

-

c

=

AC

，

b

-

c

=

AB

，則由圖象可知當(dāng)A位于y軸（0，1），
此時(shí)向量

a

-

c

與

b

-

c

的夾角最小，此時(shí)

c

=(0，1)，
則

a

-

c

=（-3，-1），

b

-

c

=（2，-1），
則cosθ=

( a - c )•( b - c )

| a - c |•| b - c |

=

-6+1

10 • 5

=-

2

2

，
即向量

a

-

c

與

b

-

c

的夾角最小值的余弦值cosθ=-

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量的應(yīng)用，利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，有一定的難度．