Question

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知向量

m

=（cosA，cosB）、

n

=（2c+b，a），且

m

⊥

n

．
（1）求角A的大�。�
（2）若a=4，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）利用數(shù)量積之間的關(guān)系，結(jié)合兩角和的三角函數(shù)的公式，即可求角A的大��；
（2）若a=4，根據(jù)余弦定理，結(jié)合三角形的面積公式，即可求△ABC面積的最大值．

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

∴

m

•

n

=(cosA，cosB)•(2c+b，a)=(2c+b)cosA+acosB=0
由正弦定理可得（2sinC+sinB）cosA+sinAcosB=0，
即2sinCcosA+（sinBcosA+sinAcosB）=0，
整理可得sinC+2sinCcosA=0．
∵0＜C＜π，sinC＞0，
∴cosA=-

1

2

，
∴A=

2π

3

；
（2）由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，
即16=b²+c²+bc≥3bc，
故bc≤

16

3

．
故△ABC的面積為S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

4 3

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=

4 3

3

時(shí)，△ABC面積取得最大值

4 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查解三角形的應(yīng)用，利用余弦定理以及兩角和差的三角公式是解決本題的關(guān)鍵．