Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₂=2，前n項和為S_n，且S_n=。
（1）證明數(shù)列{a_n+1-a_n}是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求使不等式T_n>對一切n∈N*都成立的最大正整數(shù)k的值。

Answer 1

解：（1）由題意，當n=1時，
則a₁=1，a₂=2，則a₂-a₁=1，
當n≥2時，
=[na_n-（n-1）a_n-1+1]
a_n+1=[（n+1）a_n+1-na_n+1
則a_n+1-a_n=[（n+1）a_n+1-2na_n+（n-1）a_n-1]，
則（n-1）a_n+1-2（n-1）a_n+（n-1）a_n-1=0，
即a_n+1-2a_n+a_n-1=0，
即a_n+1-a_n=a_n-a_n-1，
則數(shù)列{a_n+1-a_n}是首項為1，公差為0的等差數(shù)列
從而a_n-a_n-1=1，則數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列
所以a_n=n（n∈N*）。
（2）

所以T_n=b₁+b₂+…+b_n


由于

因此T_n單調(diào)遞增，故T_n的最小值為T₁=
令，得k＜19，
所以k的最大正整數(shù)值為18。