【題目】已知函數(shù)，().

（1）若曲線在處的切線也是曲線的切線，求的值；

（2）記，設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且.

① 若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

② 判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.

【答案】（1）；（2）①；②函數(shù)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，理由見解析

【解析】

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得曲線在處的切線方程,再聯(lián)立切線與,利用判別式為0解決相切問題即可.

(2) ①易得,再求導(dǎo)根據(jù)韋達(dá)定理可知極值點(diǎn)滿足,再求解化簡,構(gòu)造出函數(shù),求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而求得的最小值即可.

②根據(jù)①中的單調(diào)性以及極值點(diǎn)可知,且,代入分析可知,再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判定,使得即可知有1個(gè)零點(diǎn).

（1）當(dāng)時(shí),,又,所以,則曲線在處的切線方程為.

由得,因?yàn)?/span>也是曲線的切線,所以,

解之得.

（2）①因?yàn)?/span>,所以,

由得,所以 則.

因?yàn)?/span>,所以解得.

所以

.

設(shè),則,

所以在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,

所以,即所求的取值范圍為.

② 由①知當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.

又,且由①知,

所以,

又,所以,,則,

所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,

所以當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),沒有零點(diǎn).

因?yàn)?/span>,,,

又在上單調(diào)遞增,且圖像連續(xù)不間斷,所以,使得.

綜上所述,函數(shù)有且僅有1個(gè)零點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，若圓的一條切線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且.

（1）求圓的方程；

（2）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上，直線與橢圓相交于另一點(diǎn)，且，求直線的方程.

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【題目】已知橢圓的焦距為，且過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若不經(jīng)過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之和為，證明：直線的斜率為定值.

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【題目】如圖，四棱柱中，平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，，.

（1）若，求證：//平面；

（2）若，且三棱錐的體積為，求.

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【題目】在多面體中，四邊形是正方形，平面，，，為的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）求平面與平面所成角的正弦值.

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【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；

（2）若不等式對，恒成立，求正數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知甲、乙、丙三個(gè)組的老年人數(shù)分別為30，30，24.現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取14人，進(jìn)行身體狀況調(diào)查.

（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)小組各抽取多少人？

（2）若抽出的14人中，10人身體狀況良好，還有4人有不同程度的狀況要進(jìn)行治療，現(xiàn)從這14人中，再抽3人進(jìn)一步了解情況，用表示抽取的3人中，身體狀況良好的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

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【題目】已知直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，α∈[0，π）．以O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝ρcosθ+2，

（1）若，求直線的極坐標(biāo)方程

（2）若直線與曲線C有唯一公共點(diǎn)，求α

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