Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+ln（x+1）．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）求證：（其中n∈N^*，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=-代入函數(shù)f（x），再對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）已知當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，不等式f（x）≤x恒成立，即ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立，只要求出ax²+ln（x+1）-x的最小值即可，令新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其最值問(wèn)題；
（Ⅲ）由題設(shè)（Ⅱ）可知當(dāng)a=0時(shí)，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立，利用此不等式對(duì)所要證明的不等式進(jìn)行放縮，從而進(jìn)行證明；
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，（x＞-1），
（x＞-1），
由f'（x）＞0解得-1＜x＜1，由f'（x）＜0，
解得x＞1．
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）因函數(shù)f（x）圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，
則當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，不等式f（x）≤x恒成立，即ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立，
設(shè)g（x）=ax²+ln（x+1）-x（x≥0），
只需g（x）_max≤0即可．（5分）
由=，
（�。┊�(dāng)a=0時(shí)，，當(dāng)x＞0時(shí)，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
故g（x）≤g（0）=0成立．（6分）
（ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，由，因x∈[0，+∞），所以，
①若，即時(shí)，在區(qū)間（0，+∞）上，g'（x）＞0，
則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）在[0，+∞）上無(wú)最大值（或：當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→+∞），此時(shí)不滿足條件；
②若，即時(shí)，函數(shù)g（x）在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
同樣g（x）在[0，+∞）上無(wú)最大值，不滿足條件．（8分）
（ⅲ）當(dāng)a＜0時(shí)，由，
∵x∈[0，+∞），
∴2ax+（2a-1）＜0，
∴g'（x）＜0，故函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
故g（x）≤g（0）=0成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]．（10分）
（Ⅲ）據(jù)（Ⅱ）知當(dāng)a=0時(shí)，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立
（或另證ln（x+1）≤x在區(qū)間（-1，+∞）上恒成立），（11分）
又，
∵
=
=
=，
∴．（14分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值問(wèn)題，解題過(guò)程中多次用到了轉(zhuǎn)化的思想，第二題實(shí)質(zhì)還是函數(shù)的恒成立問(wèn)題，第三問(wèn)不等式的證明仍然離不開(kāi)前面兩問(wèn)所證明的不等式，利用它們進(jìn)行放縮證明，本題難度比較大，是一道綜合題；