Question

（12分）已知函數(shù)f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，（a為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底，e≈2.71828）．

（1）當a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若f（x）＞0在區(qū)間（0，）上恒成立，求a的最小值．

Answer 1

（1）f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2]，單調(diào)增區(qū)間為（2，+∞）；

（2）a的最小值為2﹣4ln2．

【解析】

試題分析：（1）先求函數(shù)的導數(shù)，然后用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）對任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即對x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令g（x）=2﹣，x∈（0，），問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.

試題解析：【解析】
（1）當a=1時，f（x）=x﹣1﹣2lnx，則f′（x）=1﹣，

由f′（x）＞0，x＞2；f′（x）＜0，得0＜x＜2．

故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2]，單調(diào)增區(qū)間為（2，+∞）；

（2）對任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即對x∈（0，），a＞2﹣恒成立，

令g（x）=2﹣，x∈（0，），

則g′（x）=，

再令h（x）=21nx+﹣2，x∈（0，），則h′（x）=＜0，

故h（x）在（0，）上為減函數(shù)，

于是h（x）＞h（）=2﹣2ln2＞0，

從而，g′（x）＞0，于是g （x）在（0，）上為增函數(shù)，

所以g（x）＜g（）=2﹣41n2，

故要使a＞2﹣恒成立，只需a≥2﹣41n2．

∴a的最小值為2﹣4ln2．

考點：1、導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應用；2、等價轉(zhuǎn)化的思想.