已知二項(xiàng)式（
x
-
1
3x
）5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為p，且函數(shù)f（x）=
1-x2
，-1≤x≤0
3x2-
p
10
，0＜x≤1
，則
∫
1
-1
f（x）dx=
 
．
考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,定積分
專題：二項(xiàng)式定理
分析：利用二項(xiàng)式展開式定理的知識先求出p，然后利用分段函數(shù)的積分公式求積分即可．
解答： 解：二項(xiàng)式（
x
-
1
3x
）5展開式的通項(xiàng)公式為Tk+1=
C
k
5
（
x
）5-k•（-
1
3x
）k=
C
k
5
（-1）k•x
5-k
2
-
k
3
，
令
5-k
2
-
k
3
=0，即5k=15，
解得k=3，
∴常數(shù)項(xiàng)p=
C
3
5
×（-1）3=-10，
∴則
∫
1
-1
f（x）dx=
∫
0
-1
1-x2
dx+
∫
1
0
(3x2+1)dx，
∵
∫
0
-1
1-x2
dx的幾何意義為半徑為1的圓的面積的
1
4
，
∴
∫
0
-1
1-x2
dx=
π
4
，
∴
∫
1
-1
f（x）dx=
∫
0
-1
1-x2
dx+
∫
1
0
(3x2+1)dx=
π
4
+（x3+x）
|
1
0
=
π
4
+1+1=2+
π
4
，
故答案為：2+
π
4
．
點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定義的應(yīng)用，積分的計(jì)算，要求熟練掌握積分的幾何意義以及常見函數(shù)的積分公式，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知sinα-cosα=
1
3
，則cos2（
π
4
-α）=（　�。�
A、
1
18
B、
1
9
C、
2
9
D、
17
18

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（2x）=2x+1+1，定義數(shù)列{an}，a1=1，an+1=f（an）-1（n∈N*），數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，b1=1，且
Sn+1
-
Sn
=1（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）令cn=
bn
an
（n∈N+），求{cn}的前n項(xiàng)和Tn；
（3）數(shù)列{an}中是否存在三項(xiàng)am，an，ak（m＜n＜k，m，n，k∈N*）使am，an，ak成等差數(shù)列，若存在，求出m，n，k的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知如圖所示是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）求不等式y(tǒng)≥2的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+xlnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）在區(qū)間（1，2）內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)p，q，且p≠q，若不等式
f(p+1)-f(q+1)
p-q
＞1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：
ln2
23
+
ln3
33
+
ln4
43
+…+
lnn
n3
＜
1
e
（其中n＞1，e=2.71828…）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將長、寬分別為6和8的長方形ABCD沿對角線AC折起，得到四面體A-BCD，則四面體A-BCD的外接球的表面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若方程f（x）=mx2+2（m+1）x+m+3=0至少有一個(gè)負(fù)根，則m的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

從高三年級隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的某次考試數(shù)學(xué)成績繪制成頻率分布直方圖．由圖中數(shù)據(jù)可知成績在[130，140）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為
 
．

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同步練習(xí)冊答案