Question

已知函數(shù)f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，t∈R．
（1）若函數(shù)y=f（x）在x=a，x=b，x=c處取到極值，且a，b，c成等差數(shù)列，求t的值；
（2）若存在實數(shù)t∈[0，2]，使對任意的x∈[1，m]，不等式 f（x）≤x恒成立．求正整數(shù)m的最大值．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)極值點是導(dǎo)函數(shù)的根，據(jù)方程的根是相應(yīng)函數(shù)的零點，結(jié)合a，b，c成等差數(shù)列，列出方程組，解出t值；
（2）先將存在實數(shù)t∈[0，2]，使不等式f（x）≤x恒成立轉(zhuǎn)化為將t看成自變量，f（x）的最小值）≤x；再構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值，求出m的范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，
∴f′（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t+3）e^x．
又∵a，b，c是f（x）的三個極值點，
∴x³-3x²-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）
=x³-（a+b+c）x²+（ab+bc+ac）x-abc
∴

a+b+c=3 ab+ac+bc=-9 t+3=-abc a+c=2b

．
解得，b=1，ac=-11．t=8．
∴t=8．
（2）不等式 f（x）≤x，即（x³-6x²+3x+t）e^x≤x，
即t≤xe^-x-x³+6x²-3x．
轉(zhuǎn)化為存在實數(shù)t∈[0，2]，使對任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x．
轉(zhuǎn)化為存在實數(shù)t∈[0，2]，使對任意的x∈[1，m]，
不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x恒成立．
即不等式0≤xe^-x-x³+6x²-3x在x∈[1，m]上恒成立．
即不等式0≤e^-x-x²+6x-3在x∈[1，m]上恒成立．
設(shè)φ（x）=e^-x-x²+6x-3，則φ'（x）=-e^-x-2x+6．
設(shè)r（x）=φ'（x）=-e^-x-2x+6，則r'（x）=e^-x-2，因為1≤x≤m，有r'（x）＜0．
故r（x）在區(qū)間[1，m]上是減函數(shù)．
又r（1）=4-e^-1＞0，r（2）=2-e^-2＞0，r（3）=-e^-3＜0
故存在x₀∈（2，3），使得r（x₀）=φ'（x₀）=0．
當(dāng)1≤x＜x₀時，有φ'（x）＞0，當(dāng)x＞x₀時，有φ'（x）＜0．
從而y=φ（x）在區(qū)間[1，x₀]上遞增，在區(qū)間[x₀，+∞）上遞減．
又φ（1）=e^-1+4＞0，φ（2）=e^-2+5＞0，φ（3）=e^-3+6＞0，φ（4）=e^-4+5＞0，φ（5）=e^-5+2＞0，
φ（6）=e^-6-3＜0．
所以當(dāng)1≤x≤5時，恒有φ（x）＞0；
當(dāng)x≥6時，恒有φ（x）＜0；
故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、極值點是導(dǎo)函數(shù)的根、解決不等式恒成立常用的方法是構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．