Question

如圖，橢圓的離心率為，直線x=±a和y=±b所圍成的矩形ABCD的面積為8．
（Ⅰ）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ） 設(shè)直線l：y=x+m（m∈R）與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P，Q，l與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn)S，T．求的最大值及取得最大值時(shí)m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通過(guò)橢圓的離心率，矩形的面積公式，直接求出a，b，然后求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ） 通過(guò)，利用韋達(dá)定理求出|PQ|的表達(dá)式，通過(guò)判別式推出的m的范圍，①當(dāng)時(shí)，求出取得最大值．利用由對(duì)稱(chēng)性，推出，取得最大值．③當(dāng)-1≤m≤1時(shí)，取得最大值．求的最大值及取得最大值時(shí)m的值．
解答：解：（I）…①
矩形ABCD面積為8，即2a•2b=8…②
由①②解得：a=2，b=1，
∴橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
（II），
由△=64m²-20（4m²-4）＞0得．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，
．
當(dāng)l過(guò)A點(diǎn)時(shí)，m=1，當(dāng)l過(guò)C點(diǎn)時(shí)，m=-1．
①當(dāng)時(shí)，有，，
其中t=m+3，由此知當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．
②由對(duì)稱(chēng)性，可知若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值．
③當(dāng)-1≤m≤1時(shí)，，，
由此知，當(dāng)m=0時(shí)，取得最大值．
綜上可知，當(dāng)或m=0時(shí)，取得最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化思想，韋達(dá)定理以及判別式的應(yīng)用，設(shè)而不求的解題方法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題，計(jì)算能力．