Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，直線PO交⊙O于B、C兩點(diǎn)，D是OC的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，若PA=2

3

，∠APB=30°．
（Ⅰ）求∠AEC的大小；
（Ⅱ）求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先連接AB，根據(jù)切線的性質(zhì)以及已知條件得到：∠AOB=60°；再結(jié)合OA=OB以及∠ABC=∠AEC即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）分兩段，先根據(jù)直角三角形中的有關(guān)性質(zhì)求出AD，再結(jié)合相交弦定理求出DE，二者相加即可．

解答：解：（Ⅰ）連接AB，因?yàn)椋骸螦PO=30°，且PA是⊙O的切線，
所以：∠AOB=60°；
∵OA=OB
∴∠AB0=60°；
∵∠ABC=∠AEC
∴∠AEC=60°．
（Ⅱ）由條件知AO=2，過A作AH⊥BC于H，則AH=

3

，
在RT△AHD中，HD=2，∴AD=

3+22

=

7

．
∵BD•DC=AD•DE，
∴DE=

3 7

7

．
∴AE=DE+AD=

10 7

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察與圓有關(guān)的比例線段，其中涉及到相交弦定理，同弧所對(duì)的圓周角相等以及弦切角等知識(shí)，是對(duì)知識(shí)的綜合考察，屬于中檔題目．