Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（-1，

2

2

）在橢圓上，且

PF1

•

F1F2

=0．
（1）求橢圓M的方程；
（2）⊙O是以F₁F₂為直徑的圓，直線l：y=kx+m與⊙O相切，并且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B當(dāng)

OA

•

OB

=λ，且滿足

2

3

≤λ≤

3

4

時(shí)，求弦長|AB|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P（-1，

2

2

）在橢圓上，且

PF1

•

F1F2

=0，可建立方程，從而可求橢圓M的方程；
 （2）利用直線l：y=kx+m與⊙O：x²+y²=1相切，可得m²=k²+1，進(jìn)而將直線與橢圓方程聯(lián)立，可表示弦長，利用

OA

•

OB

=λ，

2

3

≤λ≤

3

4

，可確定其范圍．

解答：解：（1）依題意，可知PF₁⊥F₁F₂，
∴c=1，

1

a2

+

1

2b2

=1，a2=b2+c2，解得a²=2，b²=1，c²=1
∴橢圓的方程為

x2

2

+

y2

1

=1
（2）直線l：y=kx+m與⊙O：x²+y²=1相切，則m²=k²+1，
由

x2 2 + y2 1 =1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴x1+x2=-

2km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

1-k2

1+2k2

，
∴x1x2+y1y2=

1+k2

1+2k2

=λ
∴∴

2

3

 ≤

1+k2

1+2k2

≤ 

3

4

∴

1

2

≤k2≤1，
∴|AB|=2

2(k4+k2) 4(k4+k2)+1

設(shè)u=k4+k2(

1

2

≤k2≤1)，則

3

4

≤u≤2
∴|AB|=2

1 2 - 1 2(4u+1)

，
∴

6

2

≤|AB|≤

4

3

．

點(diǎn)評：本題以橢圓為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓，與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長的求解，有較強(qiáng)的綜合性．