Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，點E在棱D₁D上，截面EACD1B，且面EAC與底面ABcD所成的角為45°，AB＝a

（Ⅰ）求截而EAC的面積：

（Ⅱ）求異面直線A₁B₁與AC之間的距離；

（Ⅲ）求三棱錐B1-EAC的體積

Answer 1

（1）解：如圖，連結DB交AC于O，連結EO。

∵底面ABCD是正方形∴DO⊥AC。

又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC。

∴∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角，

∴ ∠EOD＝45°。

DO＝(2)1/2/2a, AC=(2)1/2a, Eo=[(2)1/2a?sec45°]/2=a.

故 S△EAC=(2)1/2×a2/2 4分

（II）解：由題設ABCD－A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，得A₁A⊥底面AC， A₁A⊥AC。

又 A₁A⊥A₁B₁，∴A₁A是異面直線A₁B₁與AC間的公垂線。

∵D₁B∥面EAC，且面D₁BD與面EAC交線為EO，∴ D₁B∥EO。

又 O是DB的中點，∴E是D₁D的中點， D₁B＝2ED＝2a。

異面直線A₁B₁與AC間的距離為(2)1/2a。

(III)解法一：如圖，連結D₁B₁。

∵D₁D＝DB＝(2)1/2a，∴BDD₁B₁是正方形。

連結B₁D交D₁B于P，交EO于Q。

∵B₁D⊥D₁B。 EO∥D₁B，∴B₁D⊥EO

又 AC⊥EO， AC⊥ED，∴AC⊥面BDD₁B₁∴B₁D⊥AC∴B₁D⊥面EAC。

∴B₁Q是三棱錐B₁－EAC的高。

由DQ＝PQ，得B₁Q＝3B₁D/4＝3a/2。

∴VB₁－EAC＝(1/3)?[(2)1/2a2/2]?(3/20=(2)1/2?a3/4.

所以三棱錐了－EAC的體積是(2)1/2?a3/4.

解法二：連結B₁O，則VB₁－EAC＝2VA－EOB₁。

∵AO⊥面BDD₁B₁，∴AO是三棱錐A－EOB₁的高，AO＝(2)1/2?a/2

在正方形BDD₁B₁中，E、O分別是D₁D、DB的中點（如右圖），

則S△EOB₁=3a2/4.∴VB₁-EAC=2×(1/30×(3a2/4)×[(2)1/2a/2}=(2)1/2?a3/4.

所以三棱錐B1－EAC的體積是(2)1/2?a3/4.。