Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₂=5，a₄+a₆=22，{a_n}的前n項和為S_n
（1）求a_n及S_n；
（2）令bn=

1

an2-1

(n∈N*)，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，利用條件，求出首項和公差，即可求a_n及S_n；
（2）求出bn=

1

an2-1

(n∈N*)的通項公式，利用裂項法即可求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，
由a₂=5，a₄+a₆=22，解得a₁=3，d=2．                       
∵an=a1+(n-1)d，Sn=

n(a1+an)

2

，
∴an=2n+1，Sn=n2+2n．  
（2）∵a_n=2n+1，
∴an2-1=4n(n+1)，
∵bn=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)．                           
∴Tn=b1+b2+…+bn=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n-1

)=

1

4

(1-

1

n+1

)=

n

4(n+1)

，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=

n

4(n+1)

．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的應用，考查數(shù)列求和，要求熟練掌握裂項法進行求和，考查學生的運算能力．