如圖，設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（1，0）的直線l與拋物線C：y2=4x相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若直線l的傾斜角為，求線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）已知以線段AB為直徑的圓始終與定圓內(nèi)切，求實(shí)數(shù)r的值．

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出直線l的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，可得線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求出以線段AB為直徑的圓始終的方程，利用圓與定圓內(nèi)切，圓心距等于半徑之差，即可求實(shí)數(shù)r的值．
解答：解：（Ⅰ）由已知得直線l為y=x-1，…（1分）
代入拋物線C方程得y2-4y-4=0．…（2分）
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），
因?yàn)椤?32＞0，則，x=y+1=3，…（4分）
所以線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，2）．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)直線l方程為x=ty+1，…（6分）
代入拋物線C方程得y2-4ty-4=0，…（7分）
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），
因?yàn)椤?16t2+16＞0，所以．…（8分）
所以，，
所以線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2t2+1，2t）．…（10分）
以線段AB為直徑的圓的半徑為，
記圓的圓心為，
則，
所以，…（12分）
進(jìn)而或（不為常數(shù)），…（13分）
所以．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查圓的方程求解，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，設(shè)△OEP的面積為S，已知
OF
• 
FP
=1．
（1）若
1
2
＜S＜
3
2
，求向量
OF
與
FP
 的夾角θ的取值范圍；
（2）若S=
3
4
|
OF
|，且|
OF
|≥2，當(dāng)|
OP
|取最小值時(shí)，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求以O(shè)為中心，F(xiàn)為一個(gè)焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，P是拋物線C：x2=2y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P且與拋物線交于另一點(diǎn)Q，已知P（x1，y1），Q（x2，y2）．
（1）若l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，求弦長(zhǎng)|PQ|的最小值；
（2）設(shè)直線l：y=kx+b（k≠0，b≠0）與x軸交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T
①求證：
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)
②求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•臺(tái)州一模）如圖，設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（1，0）的直線l與拋物線C：y2=4x相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若直線l的傾斜角為
π
4
，求線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）已知以線段AB為直徑的圓始終與定圓(x-
3
2
)2+y2=r2(r＞0)內(nèi)切，求實(shí)數(shù)r的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試江西卷理數(shù) 題型：044

如圖，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)離心率，直線l的方程為x＝4．

(1)求橢圓C的方程；

(2)AB是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F的任一弦(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P)，設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3．問(wèn)：是否存在常數(shù)λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在求λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．

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