Question

（2012•臺州一模）如圖，設(shè)經(jīng)過點F（1，0）的直線l與拋物線C：y²=4x相交于A，B兩點．
（Ⅰ）若直線l的傾斜角為

π

4

，求線段AB中點的坐標；
（Ⅱ）已知以線段AB為直徑的圓始終與定圓(x-

3

2

)2+y2=r2(r＞0)內(nèi)切，求實數(shù)r的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出直線l的方程，代入拋物線方程，利用韋達定理，可得線段AB中點的坐標；
（Ⅱ）求出以線段AB為直徑的圓始終的方程，利用圓與定圓(x-

3

2

)2+y2=r2(r＞0)內(nèi)切，圓心距等于半徑之差，即可求實數(shù)r的值．

解答：解：（Ⅰ）由已知得直線l為y=x-1，…（1分）
代入拋物線C方程得y²-4y-4=0．…（2分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點D的坐標為（x₀，y₀），
因為△=32＞0，則y0=

y1+y2

2

=2，x₀=y₀+1=3，…（4分）
所以線段AB的中點D的坐標為（3，2）．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)直線l方程為x=ty+1，…（6分）
代入拋物線C方程得y²-4ty-4=0，…（7分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點D的坐標為（x₀，y₀），
因為△=16t²+16＞0，所以

y1+y2=4t y1y2=-4

．…（8分）
所以y0=

y1+y2

2

=2t，x0=ty0+1=2t2+1，
所以線段AB的中點D的坐標為（2t²+1，2t）．…（10分）
以線段AB為直徑的圓的半徑為r1=

|AB|

2

=

|FA|+|FB|

2

=

t(y1+y2)+4

2

=2t2+2，
記圓(x-

3

2

)2+y2=r2的圓心為E(

3

2

，0)，
則|DE|=

(2t2- 1 2 )2+4t2

=2t2+

1

2

，
所以|r1-r|=|2t2+2-r|=|DE|=2t2+

1

2

，…（12分）
進而2-r=

1

2

或r=4t2-

3

2

（不為常數(shù)），…（13分）
所以r=

3

2

．…（14分）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查圓的方程求解，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．