Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx（a＞0）．
（Ⅰ）若a=

1

3

，求f（x）在[1，3]上的最大值；
（Ⅱ）若a≠

1

2

，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上有無零點(diǎn)？寫出推理過程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：分類討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出a=

1

3

的函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，分別令f'（x）≥0，f'（x）≤0，求出f（x）在[1，3]上的單調(diào)性，從而確定極大值點(diǎn)2，也是最大值點(diǎn)，寫出最大值；
（Ⅱ）先求導(dǎo)數(shù)，并分解因式，討論

1

a

與2的大小，注意a＞0，分別求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的極大值，也是最大值且為f（

1

a

），根據(jù)條件，說明最大值小于0即可．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=

1

3

，f(x)=

1

6

x2-

5

3

x+2lnx(x＞0)，
f/(x)=

x

3

-

5

3

+

2

x

=

(x-2)(x-3)

3x

，
當(dāng)x∈[1，2]時(shí)f'（x）≥0，f（x）在[1，2]是增函數(shù)，
當(dāng)x∈[2，3]時(shí)f'（x）≤0，f（x）在[2，3]是減函數(shù)，
∴f（x）的極大值也是最大值，且為f(2)=-

8

3

+2ln2；
（Ⅱ）∵f'（x）=ax-（2a+1）+

2

x

（x＞0），
即f'（x）=

(ax-1)(x-2)

x

（x＞0），
當(dāng)

1

a

＞2時(shí)，即0＜a＜

1

2

時(shí)，由f'（x）＞0得x＞

1

a

或x＜2，
由f'（x）＜0，得2＜x＜

1

a

，
∴當(dāng)0＜a＜

1

2

，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，2]和[

1

a

，+∞），
單調(diào)減區(qū)間是[2，

1

a

]，
同理當(dāng)a＞

1

2

，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，

1

a

]和[2，+∞），
單調(diào)減區(qū)間是[

1

a

，2]；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，f（x）在[1，

1

a

]上單調(diào)遞增，在[

1

a

，2]上單調(diào)遞減，
∴f（x）的極大值為f（

1

a

），也是最大值f（x）_max=f（

1

a

）=-2-

1

2a

-2lna，
由

1

2

＜a＜1，可知-2-2lna＜0，f（x）_max＜0，
∴在區(qū)間[1，2]上，f（x）＜0恒成立，
∴當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上沒有零點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題是導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，求極值，求最值，考查分類討論的思想方法，同時(shí)應(yīng)注意在閉區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值，則一定為最值的結(jié)論的運(yùn)用．