Question

【題目】已知f（x）是R上的奇函數(shù)且單調(diào)遞增，則下列函數(shù)是偶函數(shù)且在（0，+∞）上單調(diào)遞增的有（　�。�

①y＝|f（x）|；

②y＝f（x2+x）；

③y＝f（|x|）；

④y＝ef（x）+e﹣f（x）．

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

Answer 1

【答案】B

【解析】

由已知可得f（x）是R上的奇函數(shù)且單調(diào)遞增，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）＝0，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行檢驗(yàn)即可．

因?yàn)?/span>f（x）是R上的奇函數(shù)且單調(diào)遞增，

故當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）＝0，

①g（﹣x）＝|f（﹣x）|＝|f（x）|＝g（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＝|f（x）|＝f（x）單調(diào)遞增，符合題意；

②g（﹣x）＝f（x2﹣x）≠g（x），故不滿足偶函數(shù)；

③g（﹣x）＝f（|﹣x|）＝f（|x|）＝g（x）為偶函數(shù)，且 x＞0時(shí)g（x）＝f（x）單調(diào)遞增，符合題意；

④g（﹣x）＝ef（﹣x）+e﹣f（﹣x）＝e﹣f（x）+ef（x）＝g（x），滿足偶函數(shù)，且x＞0時(shí)，f（x）＞0，ef（x）＞1，因?yàn)?/span> 在 單調(diào)遞增，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知g（x）＝ef（x）+e﹣f（x）單調(diào)遞增，符合題意．

故選：B．

本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題的能力，屬于中檔題.