Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè).

（1）若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為.①求證：數(shù)列為等差數(shù)列；②若不等式對任意的都成立，求實(shí)數(shù)的最小值；

（2）若，且，是否存在正整數(shù)，使得無窮數(shù)列，，，…成公差不為0的等差數(shù)列？若存在，給出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在；詳見解析

【解析】

（1）①，，兩式相減化簡得，所以數(shù)列為等差數(shù)列；②先利用錯位相減求出，由不等式對任意的都成立得到對任意恒成立，求出的最大值得解；（2）由題得當(dāng)，時(shí)，

.假設(shè)存在，，，，…成等差數(shù)列，公差為，則，再對分兩種情況討論得解.

（1）①因?yàn)?/span>，，（i）

所以．（ii）

將（i）（ii），得，即．（iii）

所以，當(dāng)，時(shí)，，（iv）

將（iii）（iv）得，

當(dāng)，時(shí)，，

整理得，，即，

所以數(shù)列為等差數(shù)列．

②因?yàn)?/span>，令，2，得，

解得，，

結(jié)合①可知，，故．

所以，

，

兩式相減，

得，

所以．

依題意，不等式對任意的都成立，

即對任意恒成立，

所以對任意恒成立．

令，

則，

所以當(dāng)，2時(shí)，，即，

且當(dāng)，時(shí)，，即

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，

所以，實(shí)數(shù)的最小值為．

（2）因?yàn)?/span>，所以，即．

因?yàn)?/span>，所以，．

所以，，．

所以當(dāng)，時(shí)，，．

假設(shè)存在，，，，…成等差數(shù)列，公差為．

則，

（ⅰ）若，則當(dāng)，時(shí)，，

而，，所以與題意矛盾．

（ⅱ）若，則當(dāng)，時(shí)，與題意矛盾．

所以不存在，使得無窮數(shù)列，，，…成公差不為0的等差數(shù)列．