Question

（2011•順義區(qū)二模）為振興旅游業(yè)，某省2009年面向國內(nèi)發(fā)行了總量為2000萬張的優(yōu)惠卡，其中向省外人士發(fā)行的是金卡，向省內(nèi)人士發(fā)行的是銀卡．某旅游公司組織了一個有36名游客的旅游團到該省旅游，其中

3

4

是省外游客，其余是省內(nèi)游客．在省外游客中有

1

3

持金卡，在省內(nèi)游客中有

2

3

持銀卡．
（1）在該團中隨機采訪3名游客，求至少有1人持金卡且恰有1人持銀卡的概率；
（2 ）在該團的省外游客中隨機采訪3名游客，設(shè)其中持金卡人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析：（1）旅游團中，易知省外游客、省內(nèi)游客以及持金、銀卡的人數(shù)；“采訪該團3人中，至少有1人持金卡且恰有1人持銀卡”，應(yīng)分為“采訪該團3人中，1人持金卡，1人持銀卡”，或“采訪該團3人中，2人持金卡，1人持銀卡”；求其概率和即得．
（2）持金卡人數(shù)X的可能取值為0，1，2，3；計算概率P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）；列出X的分布列并計算出數(shù)學(xué)期望EX．

解答：解：（1）由題意知，省外游客有27人，其中9人持有金卡，省內(nèi)游客有9人，其中6人持有銀卡．
記事件B為“采訪該團3人中，至少有1人持金卡且恰有1人持銀卡，”
記事件A₁為“采訪該團3人中，1人持金卡，1人持銀卡，”
記事件A₂為“采訪該團3人中，2人持金卡，1人持銀卡，”
則P(B)=P(A1)+P(A2)=

C 1 9 C 1 6 C 1 21

C 3 36

+

C 2 9 C 1 6

C 3 36

=

45

238

所以在該團中隨機采訪3名游客，至少有1人持金卡且恰有1人持銀卡的概率為

45

238

．
（2）X的可能取值為0，1，2，3
因為P(X=0)=

C 3 18

C 3 27

=

272

975

，P(X=1)=

C 1 9 C 2 18

C 3 27

=

153

325

P(X=2)=

C 2 9 C 1 18

C 3 27

=

72

325

，P(X=3)=

C 3 9

C 3 27

=

28

975

所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P	272 975	153 325	72 325	28 975

故EX=0×

272

975

+1×

153

325

+2×

72

325

+3×

28

975

=1

點評：本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算，以及互斥事件的加法公式，屬于中檔題．