Question

【題目】已知點和直線，直線過直線上的動點且與直線垂直，線段的垂直平分線與直線相交于點

（I）求點的軌跡的方程；

（II）設直線與軌跡相交于另一點，與直線相交于點，求的最小值

Answer 1

【答案】（I）；（II）

【解析】

（I）根據垂直平分線性質可知，由拋物線定義可得到所求軌跡方程；（II）由題意可知，直線斜率存在，且斜率不為零，設，，與拋物線方程聯立得到韋達定理的形式，利用坐標運算表示出，代入韋達定理，結合基本不等式求得最小值.

（I）連接

為線段的垂直平分線

即點到定點的距離等于點到定直線的距離

由拋物線的定義可知，點的軌跡為：

（II）由題意可知，直線斜率存在，且斜率不為零

設，，直線，

將直線方程代入拋物線方程可得：

則

又 ，

當且僅當，即時取等號