Question

（1）設(shè)函數(shù)f（x）=x²-1，對任意x∈[

3

2

，+∞)，f(

x

m

)-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞）

．
（2）函數(shù)f（x）=

2-x-1(x≤0) f(x-1)，(x＞0)

，若方程f（x）=x+a恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，則a的取值范圍是

（-∞，1]

．

Answer 1

分析：（1）將函數(shù)代入，再化簡并分離參數(shù)，確定函數(shù)的最值，即可求得m的取值范圍；
（2）在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=x+a的圖象，利用數(shù)形結(jié)合，易求出滿足條件實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）把f（x）=x²-1代入，

x2

m2

-1-4m²（x²-1）≤（x-1）²-1+4（m2-1）
化簡分離參數(shù)，由x∈[

3

2

，+∞）可得

1

m2

-4m²≤-

3

x2

-

2

x

+1
令y=-

3

x2

-

2

x

+1，由x∈[

3

2

，+∞）可得函數(shù)在由x∈[

3

2

，+∞）上單調(diào)遞增，所以x=

3

2

時(shí)，y取得最小值為-

8

3

所以得

1

m2

-4m²≤-

8

3

整理得：12m⁴-5m²-3≥0
所以（3m²+1）（4m²-3）≥0，所以4m²-3≥0
即m∈（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞）；
（2）函數(shù)f（x）=

2-x-1(x≤0) f(x-1)，(x＞0)

的圖象如圖所示，
當(dāng)a＜1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=x+a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）=x+a有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故答案為：（1）（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞）；
（2）（-∞，1]

點(diǎn)評：本題考查恒成立問題，考查方程根的研究，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．