Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=49，a_n+1=a_n+2n，則

an

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由數(shù)列遞推式利用累加法求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，代入

an

n

后由基本不等式求最值．

解答： 解：由a_n+1=a_n+2n，得
a₂-a₁=2×1．
a₃-a₂=2×2．
a₄-a₃=2×3．
…
a_n-a_n-1=2（n-1）（n≥2）．
累加得：a_n=a₁+2（1+2+…+n-1），
∴an=49+2•

n(n-1)

2

=n2-n+49（n≥2）．
驗(yàn)證n=1時(shí)上式成立．
∴an=n2-n+49．
則

an

n

=

n2-n+49

n

=n+

49

n

-1≥2

n• 49 n

-1=13．
當(dāng)且僅當(dāng)n=

49

n

，即n=7時(shí)取最小值．
故答案為：13．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．