Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，滿足：sin（A-B）+2cosAsinB=-2sin2C，且16a²+16b²-13c²=0．若△ABC的面積為

3 15

4

，則a+b值為（　　）

• A、5
• B、6
• C、7
• D、8

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：由sin（A-B）+2cosAsinB=-2sin2C，左邊展開可得sinC，再利用倍角公式可得cosC，利用平方關(guān)系可得
sinC．由16a²+16b²-13c²=0．和余弦定理可得6（a²+b²）=13ab．再利用△ABC的面積為

3 15

4

，可得

1

2

absinC=

1

2

ab×

15

4

=

3 15

4

，ab=6．進(jìn)而得出a+b．

解答： 解：由sin（A-B）+2cosAsinB=-2sin2C，
∵sinAcosB-cosAsinB+2cosAsinB=sin（A+B）=sinC，
∴sinC=-2sin2C=-4sinCcosC，
∵sinC≠0，∴cosC=-

1

4

，∴sinC=

1-cos2C

=

15

4

．
∵16a²+16b²-13c²=0．∴-

1

4

=cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+b2- 16 13 (a2+b2)

2ab

，化為6（a²+b²）=13ab．
∵△ABC的面積為

3 15

4

，∴

1

2

absinC=

1

2

ab×

15

4

=

3 15

4

，化為ab=6．
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=

13

6

ab+2ab=

25

6

×6=25．
∴a+b=5．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩角和差的正弦公式、倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、余弦定理、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．